李冶的人生经历及其数学理论天元术的提出

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论文摘要

  李冶(1192—1279),是我国古代金元时期的着名数学家,同时也是一位诗人、文学家。他原名李治,祖籍在今天的河北栾城县。他曾中过金朝的进士,金朝亡国后,他北渡流落至山西。晚年时隐居在河北一带讲学。他的诗词作品保留至今的有 40 卷的《敬斋古今黈》,40 卷的《泛说》,12 卷的《壁书丛削》等。当然,比起文学上的贡献,李冶最让世人无法忘怀的是他在我国古代数学史上的重要地位。他发明了设未知数解并列方程的天元术,促进了数学界对直角三角形旁切圆和内切圆性质的研究。李冶凭借他在数学上的成就,与朱世杰、秦九韶、杨辉一起被称作“宋元数学四大家”。

  一、步父后尘为学问奔波受苦

  李冶出生时,父亲李遹给他取名李治,后来因金朝朝廷下令严禁百姓与古代君王同名同姓“,李治”一名与唐代的高宗名字一样,所以就将“治”去掉一点,为李冶。李冶自幼聪颖好学,对读书有着近乎痴迷的兴趣。求学期间,他特别钟爱文学和数学两科。据《元朝名臣事略》记载:李冶幼时读书,书不离手,悟性极高,成人之风尽显。加上父亲李遹好学、正直的精神深深影响着李冶,所以李冶青少年时就明白比起财富学问更可贵、更重要的道理。他曾与好友元好问结伴出游访学,拜在杨云翼、赵秉文等文学大家门下,学问大有精进。正大七年,即 1230 年,李冶带着满腹才学到洛阳应试,不出意料地考上了辞赋科的进士。阅卷考官拿着他的文章,不禁感叹道:此人经文水平颇具名家通儒之风范。同年,朝廷有意派李冶赴陕西高陵任主簿之职,但由于蒙古大军已攻陷陕西,因此没能上任。后被调往钧州任知事,为官期间正直、清廉,为一方百姓所爱戴。
  在钧城上任两年后,蒙古大军攻破了李冶的城池,但李冶拒不投降,想与钧城共存亡。在下属的极力劝谏下,他才换上平民的衣服,与他人一起北渡黄河逃难。北渡是李冶人生的一个重要转折点,他由此开始了长达近半个世纪的学术生涯。李冶北渡黄河来到山西的崞县、忻县一带,饥寒交迫,生活艰难。第二年,好友元好问因汴京陷落而弃官至山西与李冶一同避难。1234 年,蒙古彻底覆灭了金朝,李冶和元好问深感家国不在、政事不举,于是决定潜心学问研究。经过一番颠沛流离,李冶定居在桐川,研究数学、医学哲学、天文、历史与文学。他所处的研究环境非常艰苦,不得温饱、居室狭小,尽管常常要为衣食奔波,他也在着书立说中自得其乐,不间断地写作

  二、境况好转为着书辞官隐逸

  1251 年,在艰难困苦中煎熬了十余年的李冶,终于迎来了经济情况的好转,蒙古大军在原来金朝境内的兵事也渐渐平息,于是他从山西回到元氏县,开始凭借他多年潜心研究所获收徒讲学。李冶在金元文人当中原本就具有较高的名气,他收徒讲学的消息传出后,立即吸引不少青年才俊纷纷前来拜于门下。来求学的人越来越多,以至于李冶家的茅草屋再也容纳不下这么多人。好在师生一起出钱出力,同心同德建起了一座封龙书院,才解了燃眉之急。在封龙书院,李冶不仅讲授文学,也讲授数学及其他学科知识。在工作之余,他常常与张德辉、元好问一起畅游封龙山,学生们和附近百姓都称他们为“龙山三老”,声名远扬。1257 年,金朝遗老李俊民、姚枢、窦默等人在开平受到忽必烈的召见,他们向忽必烈推荐李冶可为蒙古所用。数月后,李冶受召赴开平拜会了忽必烈。他的政治见解和治国理政之道受到忽必烈的高度赞赏。
  拜会完忽必烈,李冶回到封龙山继续他的着书讲学生活。1260年,忽必烈称帝,即为元世祖,于第二年在开平设立翰林国史院。由于当年与李冶一叙,深得忽必烈之心,所以聘请李冶担任翰林学士知制诰,负责修国史。李冶习惯了山野匹夫、着书讲学的生活,加上曾经为金朝政权效力使他深知官场凶险,于是以老病为由,婉言谢绝了忽必烈的盛情。此外,还有两点原因,导致李冶不愿与蒙古为伍。一个是蒙古统治者并没有采纳李冶曾提出的“止征伐”的政见,反而大举进攻宋朝,李冶为此十分不满。另一个是忽必烈即位之初,蒙古贵族内部多有不服和反抗,统治区内内战不断,在动荡时局下,李冶自然是不愿为官。他曾说“:世道不济,君子选择隐而不仕或为上佳。”
  待忽必烈平定了内乱,再次召李冶入翰林院修国史。1265 年,李冶勉强答应赴燕京就职。没过多久,李冶感到在翰林院工作时刻都要以统治者的意志行事,思想不自由,无法畅所欲言,比起在封龙山着书立说的日子差远了,于是不到一年就称病辞去所有官职。由此可以看出,李冶是一个有思想、追求自由的人,特别是在学术上绝不肯唯命是从。辞官回到封龙山,李冶完成了《敬斋古今黈》和《泛说》两部着作。前者是他的读书笔记,后者是他对各种热门事物的见解或随感。

  三、创天元术为数学殚精竭虑

  在李冶众多学术着作中,数学是他最引以为傲的,也是他对世人贡献最大的一门学问。他在数学方面最具代表性的成就是天元术,这是中国最早的半符号代数,其产生比欧洲早了三百多年。李冶所着的《测圆海镜》首先提出了天元术,后来他又以一部《益古演段》普及了天元术。所谓天元术,是在高次方程求解技术发展的前提下,相应产生的列方程的一种方法。而第一次提出天元术的《测圆海镜》是着作等身的李冶一生中最得意的作品。在他弥留之际曾对其子说道“:我这一生所写的书,无论涉及哪一学科,尽可烧去,唯独《测圆海镜》要保留下来。此书内容虽不多,也大多是些数字,但是我殚精竭虑所创,若能被后世接受流传,我可安息矣。”
  可见,天元术是李冶治学一生最看重的一项成果,也是他对中国古代数学界最重要的贡献。天元术中用符号列数学方程式与今天数学中设某符号为未知数是一致的。列方程的数学思想在汉代即已出现,可追溯至《九章算术》。该书中提出建立二次方程的方法,虽然是用文字而非数学符号表述,也没有明确提出未知数这一概念,但它却开创了中国数学史上列方程的理念。唐代的王孝通在《九章算术》的基础上列出了三次方程,只是仍然以文字表述,显示出他也未掌握一般方法来列方程。北宋时期的数学家贾宪与刘益经过不懈探索,解决了高次方程正根问题,但也同时使数学问题变得日趋复杂,建立一种普遍适用的方程的模式已经成为迫切之需。天元术于是应运而生。最初,北宋的石信道和洞渊的数学探索曾触及到了天元术表皮,但其研究成果还只能算是天元术的雏形,而且十分幼稚,演算烦琐、记号混乱。例如,它尚不会用统一符号来代表未知数的幂,而是用十九个汉字来表示未知数的上下层,这十九个字是“鬼、暗、泉、逝、落、减、低、下、地、人、天、上、高、层、垒、汉、霄、明、仙”。其中“人”为常数,人以上的九个字代表未知数的负数次幂,最低为负九次幂,人以下的九个字代表未知数的正数次幂,最高为正九次幂。可见其运算之烦琐,实际运用也十分不便。李冶在前人研究的基础上,让天元术焕发了新的生命,将其彻底改进为一种实用而简便的数学方法。正当他在从事相关研究时,数学界出了诸如《复轨》、《如积释锁》、《照胆》、《铃经》等不少算书,为李冶的研究正好提供了很多便利条件。特别是他在桐川偶获一本据说是由洞渊所写的算书,专讲勾股容圆和九客之说,得到极大启发。李冶为深入、全面研创天元术,将勾股容圆也就是切圆的问题当做重点研究系统来对待,以讨论天元术在各种条件下求圆径的可行性,所以才有了《测圆海镜》这部他一生最重要的数学成就结晶。

  四、着成名书为后世普及新法

  李冶在《测圆海镜》中发明了一套小数记法和负号,采用从零至九共十个完整的数码,化分式方程成整式方程。在李冶之前,从一至九的筹式数码反映已经存在,但符号零和零空位则从未有过,李冶在此算是原创。虽然《测圆海镜》的研究范畴重点在于列方程,而对于解方程的方法涉猎不多,但其中用天元术导出了最高为六次的高次方程,不仅出现的频率很高,而且全部精确无误地给出了根,足见李冶本人已经掌握了解高次方程的方法。《测圆海镜》作为最早的天元术着作,在体例上也是首创。全书几乎是以一个体例在演绎推导。首卷包含了定义、公式、定理,此后各卷列出的数学问题的解法都是在定义、公式、定理的基础上用天元术推导而来。这一体例也开创了今天数学教材体例的先河。而在李冶之前,算书体例一般采用问题集形式,各卷内容平列,缺乏必要的数学逻辑与层次感。所以李冶着书的演绎法体例,是中国数学发展过程中的一座里程碑。
  如前文所言,如果《测圆海镜》是李冶提出天元术的着作,那么他的《益古演段》则意在普及天元术。该书列有 64 道题,涉及的主要为平面图形面积以及周长、方边、圆径的求解。其中有 60 道都要用到二次方程式。在内容的编排上,李冶也有意将题目设计成由易到难的渐进式。《益古演段》不仅意在普及天元术,而且在数学理论上也有所创新。例如他提出数学求量的问题在实际应用当中很多时候不是只求一个,而是两个、三个甚至更多;他还提出,设置辅助未知数可以简化解方程的运算过程,即便是求两个或以上的数值也可用此法。总之,《测圆海镜》与《益古演段》是李冶多年潜心研究的数学思想的成就结晶,也是他留给世人宝贵的数学财富。

  参考文献
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  [3]韩儒林.元朝史[M].北京:人民出版社,2008.
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