《发现数学之美》作品中对数学美的阐述

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论文摘要

  一、感受数学文化的魅力

  初登讲台,张老师以为教好初中数学并不难。一学期下来,他所教的和老先生教的学生成绩相比,存有一定的差距。于是,他虚心向老先生讨教,订了一些数学教育杂志,从教案设计、课堂观摩到理论认识,从试题研究到例题教学,都认真模仿并实践着。
  两年后站稳了讲台,三年后带出的第一届学生参加中考,数学取得了好成绩。接着连教两年毕业班,张老师慢慢地自满起来。这样的好感觉又过了两年,直到一次校庆宴会上,学校领导反馈了最近一次座谈会上学生对他教学的意见:“上课容量大,讲课速度快,听课较吃力;作业量大,花时间多或做不来;提不起数学兴趣,对数学课没有信心……”。张老师从班主任那里读了学生的周记也得到了印证,但还是有点不信,直到采访数学成绩较好的学生,发现近一半学生对数学兴趣不强,才反思自己。为追求课堂容量和效率,课上多讲、课后多练,把学生当作容器,一味地注入,忽视了学生的主观能动性。课上容量大、学生听不懂的调整相对容易,但让学生发自内心热爱数学学习并不容易,这对数学教育提出了更高的要求。
  怎样让学生爱上数学,觉得数学同样生动而有趣。打个比方,这跟烧菜一样,如果把肉放在水里清煮,营养虽在,但味道不可口,因此需要调料。那么,使“数学课”的调料在哪儿?于是,张老师开始尝试在课堂中穿插些笑话,幽默一把。课堂中有了笑声后,数学课的主题却被冲淡了,授课内容完成不了,这种做法很快被否定了。之后,便经常在课堂中适时引入数学故事和数学史话,但时间久了就黔驴技穷了———到哪里去找那么多的数学故事和史话呢?让数学课堂充满生机,又不失数学味,真可谓“山穷水尽疑无路”。后来,读了张奠宙和张景中院士的文章后,才找到理论上的方向感。如,张奠宙教授在《‘对顶角相等’的政治社会背景透析》中谈到“对顶角相等,一眼看上去就是相等,还需要什么证明?中国古代数学有过光辉灿烂的成就,但却是没有‘对顶角’的概念,也没有‘对顶角相等’的命题,这是为什么?
  我们今天学习这样的命题意义何在?事实上这显示了古希腊文明和中国文明在文化上差异。”古希腊文明和古代中国的不同文化产生了不同的数学。每个民族有自己的文化,也就一定有属于这个文化的数学,古希腊数学和中国传统数学都有辉煌的成就、优秀的传统。但是,他们之间有明显的差异,可以从社会文化的背景上找原因……”。通过“对顶角相等”这一命题看到中西文化的差异:古希腊公理化思想、理性精神历经风霜岁月,依然闪闪发光;古代中国以算法为体系的数学,在吴文俊院士整合和发扬中又散发出无限的魅力。既讲历史,又讲数学,讲历史为了更好地理解数学;数学课中渗透人文素养,反过来又凸显科学精神。“对顶角相等”这一命题背后的隐性文化挖掘,与新课程倡导“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维目标不谋而合。从此,张老师的数学课堂不仅传授知识与技能,也在循循善诱情感、态度与价值观,更把数学作为一种思想、一种文化和一种精神教育人、激励人。
  新课程需要这样的数学老师:能够把生活道理与非常抽象的数学相挂钩,幽默元素渗透其中,让学生爱上数学。于是,张老师开始努力让数学结缘文化,这为日后《发现数学之美》的创作奠定了基础。然而,数学教师讲课要做到深入浅出,娓娓道来,把抽象的数学演绎得通俗易懂,需要有渊博的知识,仅是阅读一些数学教育杂志还远远不够,还需要博览群书。

  二、寻觅思维品质的真谛

  数学教师要博览群书,该从哪类书读起?再读些什么?从文学与史料读起。文史修养直接影响着人的学问境界与生活趣味,而且能培养较好的想象力与表达能力。“读史使人明智”,很遗憾,大多数数学老师过于讲实用,比较关注解析习题和阅读教学参考书,文史哲书籍读得太少、太浅。若从审美的情操角度看,诗歌是文学中最简洁的语言,数学的语言也是,从这层意义上讲,数学和诗歌有着相通性,特别把古代诗歌意境和数学思想进行融通,能给人以无限之愉悦。如,茶杯上书写“清心也可以”和数学上的“旋转对称性”;“孤帆远影碧空尽”和数学中的“极限”;“满园春色关不住,一只红杏出墙来”和数学中的“有界”等。
  其次还要读点哲学。如果说文学作品陶冶情操,那么哲学会提升人的思维,开阔人的眼界。只有当你学会从哲学高度来看待事物变化时,思维会豁然开朗。如,张老师在讲第一次数学危机时,未了解西方哲学史,和其他数学老师一样着重介绍毕达哥拉斯学派的一个门徒发现的不可通约性,为坚持真理而葬身大海。学生感受不到数学危机带给人们的思想震撼,也体会不到古希腊人理性的思辨和现实的纠结。其实这里有一个文化传统背景,当时的数学是哲学的一部分,古希腊的哲学是西方文明的摇篮。哲学之父泰勒斯提出“水是万物的本原”,走出了用神话、图腾等解释世界,诉求于人类的理性,之后有赫拉克利特的“逻各斯”、毕达哥拉斯的“万物皆数”和柏拉图的“理念论”等。当你了解古希腊人爱智慧这一传统后,就会真切地感受所谓的数学危机是真正的思想和信仰的双重打击。这个数就像一面镜子,反映了不同文化的差别。巴比伦人以很高的精确度计算了的近似值,希腊人却证明它是一个无理数,数学的性质在希腊人手里发生了根本的变化。柏拉图在他的学院大门上写着“不懂几何者请勿入内”,这不是一个怪人的训诫,而反映了希腊人的一种信念:一个人只有通过理性的探求和严密的逻辑才能了解他所处的尘世。希腊人开启了理性的力量,而不是凭感官去判断什么是正确的。正是依靠这种判断,理性才为人类文明开辟了一条康庄大道。当学生了解这一段文明后,才会感受到古希腊人为什么迈不过这一道坎,内心也会因此有了火热的思考。也正因为有了哲学的阅读,视野更加开阔了。哲学好像是望远镜,使人看得更远,哲学又是显微镜,使人认识得更深刻。
  “问渠哪得清如许,为有源头活水来。”广泛涉猎文史哲,源头活水不断。有了活水,种田还需要生命的种子,即数学美的素材。要寻觅到数学美的素材,还得站在巨人的肩膀上。

  三、升华于巨人肩膀之上

  除了阅读数学教育类杂志、文史和哲学书籍之外,酝酿着作过程中还要搜集大量的期刊论文和国内外经典的数学科普读物。通过查阅这些文献,既开阔了眼界,也增加了写作素材。
  如,专着中《有理数学一章蕴含数学之美》的由来。张老师刚从教时,教材中的课后阅读材料介绍:
  “从历史发展看,我国古代着名数学专着《九章算术》(成书于公元 1 世纪)中的‘方程’一章,在世界数学史上首次正式引入负数及其加减运算法则……”。而教材编排是按西方数学发展历史展开的,那么西方负数又是何时产生的呢?于是查阅数学文献,期刊杂志中虽有相关说法,但都不完整。后来,发现在美·M克莱因着的《数学确定性的丧失》有详细的记载,这样写道:“15 世纪丘凯和 16 世纪斯蒂费尔都把负数说成荒谬的数,卡丹给出了方程的负根,但认为是不可能的解,而仅仅是一些记号,他把负数根称为虚根,正根称为真实的,韦达则全然摒弃负数。很多数学家并不承认它们是数,一直到 19 世纪 30 年代着名的英国代数学家摩根还强调负数与虚数一样都是虚根的……”中国古代接受负数的概念没有太多的困难,而西方人对负数的概念经历了千年才从拒绝到接受,这是为什么呢?吴文俊、纪志刚教授在《从记数法到复数域:数系理论的历史发展》一文谈到:“负数在西方经历漫长的历程,一直到 17 世纪后慢慢地被数学家接受,当然这不是因为我们中国人聪明就早一点发现,而是两种不同的数学体系和文化所造成。负数常常是在代数方程的求解过程中产生,由于中国古代算学高度发达和中国传统关注的数量计算,对数的本质并没有太大的兴趣,负数是人类第一次越过正数域的范围……”他通过查阅负数发展史料,对“负数”的认识从原来的不知到朦胧,再到有清晰的专业视野,最后终于完成了《有理数学一章蕴含数学之美》一文。
  美国当代管理学家托马斯·卡林研究表明“:在任何一个领域里,只要持续不断地花 6 个月的时间进行阅读、学习和研究,就可以使一个人具备高于这一领域的平均水平的知识。”现在查阅文献资料比较方便,只要随访中国知网等数据库就能得到。通过查阅文献,你可以发现自己的渺小、前人的伟大。在阅读他人的文献中,你可以了解在相关的课题上他们已经做了哪些,前进到哪一步,哪一个方向还有待于挖掘和深入,哪一些已经没有必要。正如牛顿所言“如果说我看得比别人更远些,那是因为我站在巨人的肩膀上。”
  站在巨人的肩膀上,特别是阅读大师们经典的科普读物,那些深入浅出、生动活泼而简洁的语言,形象的比喻,能使人受到很大的启发,同时体悟到理智上的愉悦,也会给予人写作的激情和力量。上述的“负数”材料被张老师重新加工成了如下的文字:
  “……通过负数扩充让我们体会到人们遇到需要时,不断创造新的数,并且每次创造的新数,都解决了数学内部和实际生活中原先无法解决的问题;世界上本没有数,数是人类伟大的创造;有与无、能解决与不能解决都是相对的,创造新的数的难点在于突破原有的思维方式与认知心理。犹如西方古代寓言中,有个着名的‘高尔丁结’故事:只要谁能解开奇异的‘高尔丁结’,谁就会成为亚洲王。所有试图解开这个复杂怪结的人都失败了,最后轮到亚历山大了。他想尽办法要找到这个结的线头,结果还是一筹莫展,最后他想:‘我要创建自己的解法规则’。他拔出宝剑,将那个结劈为两半。于是亚历山大成了亚洲王……”对数学之美的感受从朦胧到清晰,不是一朝一夕就能达到的。站在巨人的肩膀上,能让我们看得更远,体悟得更深,但要有所成就还需坚持不懈地守望。

  四、守望在数学世界之中

  对中小学教师来说,从事实践研究是十分明智的———发挥自己熟悉学生、教材及教育教学实践的优势,选择自己在教学实践中生成的问题作为研究对象去“小题大做”、“深耕细作”;再将形成的研究成果运用到实践中去,改善自己的教育教学工作,并根据自己的专业特点、学习优势、兴趣爱好,特别是要围绕着个人研究方向有选择地积累材料,并适时地吸收,化为己用,就能有所成就。《发现数学之美》一书,就是在有个好规划的前提下,坚持不懈地向着更深处探索的成果。
  经过十多年的积累,张老师申报了 2007 年台州市教科重点课题《初中数学隐性文化挖掘和应用》,被批准立项。该课题旨在挖掘数学史和数学教材中隐性的文化,彰显数学的魅力,诚如克莱因所说:“数学绝对不是课程中或教科书里所指的那种肤浅观察和寻常诠释。……课本中的字斟句酌的叙述,未能表现出创造过程中的斗争、挫折,以及在建立一个可观的结构之前,数学家所经历的艰苦漫长的道路,而学生一旦认识到这些,他将不仅获得真知酌见,还将获得顽强地追究他所攻问题的勇气,并且不会因为他自己的工作并非完美无缺而感到颓丧。”
  如,对“有理数”一词的由来进行挖掘后,发现事实上这是个翻译的失误。有理数源于古希腊,意思为成比例数,英文一词 ration number,而 ration 通常意义是有理性的。这里应该是比率的意思,是指两个整数之比,大家都会觉得很迷惑吧! 原来日本大约在十七、十八世纪翻译西方数学的时候,就作了这样的翻译,后来中国人参照日本的译名依样采用,因而造成错误。
  通过“有理数”一词的挖掘,既让学生明白“有理数”概念的本质属性,即可比之数,也让他们了解古希腊毕达哥拉斯学派的遗风,毕氏学派倡导“万物皆数”,世界的万物本源来自于“数”,数是世界万物的最本质的东西,把世界万物的多样性统一成“一”,这个“一”就是“数”,这个“数”指的是整数或可化为整数之比的数。
  张老师梳理了“初中数学教材中的隐性文化”之后自觉成熟,于 2011 年底申报浙江省教科规划课题《人教版初中数学“阅读材料”导学策略研究 》,并被立项。该课题目的是继续推进数学文化的开发。由于“阅读材料”自身特点,但因篇幅比较小,有的蜻蜓点水,意犹未尽;有的偏难,达不到意想的效果等。为了让数学的阅读材料如同语文一样,列入学生阅读中,就要让数学的阅读变得有趣、有味,于是对阅读材料进行开发和挖掘,这就有了后来的校本教材《数学探究和欣赏》和专着《发现数学之美》。这两个成果,都是沿着“数学美和隐性文化”进行开发和挖掘的结果,是对数学之美笃行之、不言弃的结果,是一以贯之、厚积薄发的结果。
  最初,张老师在如荣誉和职称等外在因素的推动下,着手研究,做着做着,乐在其中;随着对数学之美的认识加深,发现数学美妙、高雅的格调更能打动人,吸引人。数学之美如同罗素所言:“数学,以正确的眼光观之,所拥有的不只是真理,而且是至高无上的美———艳丽而冷酷,如同冰雪中的雕塑拥有的美……”。现在数学这样一位冰美人以她独有的魅力吸引着这位研究者迈向更高的境界。
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