离散数学课程特点与教学方法改革

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摘要

  0 引 言

  离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学理论,是现代数学的一个重要分支,也是计算机相关专业学生必修的专业基础平台课程。离散数学对于计算机相关专业来说非常重要,它为后续课程,如数据库、数据结构、计算机网络、操作系统等提供必要的数学基础;同时通过该课程的学习可以提高学生的逻辑推理能力和抽象思维能力,并有助于提高学生的编程能力。这门课程为本科生后续课程和研究生课程学习打下坚实理论基础,在专业课程体系中占有重要地位。

  1 离散数学课程特点与教学现状

  离散数学是一门概念多、定理多、理论性强、内容丰富和高度抽象的课程。其核心内容分为 4 部分:第 1 部分是数理逻辑,其中包括命题逻辑和谓词逻辑;第 2 部分是集合论,主要包括集合、关系和函数;第 3 部分是代数结构也称近世代数;第 4 部分是图论,主要包括图的基本概念、基本定理和基本方法。离散数学一般开设在大二上学期,此时计算机相关专业学生已经修完高等数学、线性代数、概率论、大学物理等理论课程。就难易程度而言,离散数学与这几门先修课程相比更容易理解和掌握,因为大部分离散数学中的概念简单易懂、定理证明清晰明了,很多内容学生在初、高中都接触过,只是没有进行系统抽象的学习。但实际上很多学生仍感觉这门课程学习起来比较困难,主要原因是概念繁多,容易遗忘,同一学期还开设许多其他课程,如果学生课下不抽出时间巩固,就很难保证对概念和定义的理解和掌握。同时,多方面的因素导致学生不重视离散数学的学习,产生学习兴趣不高、教学效果不理想的状况。

  2 教学方法改革措施

  教学方法是实现教学目的和教学任务的重要手段,是教学活动中最重要的组成部分[1].同样的知识点,可以用多种方法教授给学生。

  2.1 强调重点和难点的讲解

  许多教师讲到集合知识时讲解速度都很快,认为集合基本知识已经在高中学过,但是学过并不代表已经学会并掌握。比如在集合一节有一个例题[2]84,A={{a},a} 和 {a} 这两者之间的关系,{a} ∈ A 和 {a} A 都成立。学生往往不明白为什么二者都成立,因为元素与集合之间是属于和不属于关系,而集合与集合之间是包含和不包含关系。对于这类题要告诉学生分 2 步走:第 1步,先看关系符,如果关系符是∈,则判断前后是否为属于关系,如果关系符是 ,则判断前后是否为包含关系;第 2 步,如果关系符是∈,则看前者是否为后者集合里的元素,如果是,则属于关系成立,否则属于关系不成立,如果关系符是 ,则看后者集合的子集里有没有和前者相等的集合,如果相等则包含关系成立,否则包含关系不成立。另外,书上讲解属于关系为不同层次上的 2 个集合,并画出了图形示意,学生看后很好理解;而包含关系为同一层次上的 2 个集合,学生就不好理解, 应该同样用图形表示。对于前一个例题,可画出同一层的图示,如图 1 所示。根据子集的定义[2]84,由定义和图示可知,a ∈ {a} → a ∈ A ,因此得到 {a} A.这样,同一个问题可以从不同角度分析和理解。

  对于难点和不易理解的部分,要用直观和学生易懂的语言来讲解。以离散数学数理逻辑部分中的一阶谓词逻辑公式类型判断(即给定一个公式,判断公式的类型)为例,根据前面的知识可知,命题公式和谓词公式都分为3类:重言式、矛盾式和非重言式的可满足式。命题公式是重言式的置换和矛盾式的置换,则谓词公式仍然是重言式和矛盾式,因此判断一个谓词公式是重言式和矛盾式比较容易,根据命题公式即可直接判断。但是对于学生来说,判断非重言式的可满足式比较困难,即给定一个抽象的谓词逻辑公式,要找到一个成真解释和成假解释比较难,原因在于学生不知道如何找到这样的解释。这就需要教师给学生分析并用简易的语言来说明,找到问题的本质。在一阶逻辑命题符号化中先有一段话,并且这段话无论真假 , 其真值已经确定,可以用谓词符号化,而逻辑公式的类型判断正好是这个过程的逆过程。首先,找一句话,这句话为真,并且能够符号化为这个公式形式,则此公式不是矛盾式;其次,再找一句话,这句话为假,并且能够符号化这个公式形式,则此公式不是重言式,结合这两种情况就可以推出此公式为非重言式的可满足式。这样就把不易理解的内容讲得清楚易懂,并且教给了学生解题的思路方法。

  2.2 强调前后章节的联系

  一般离散数学教材将数理逻辑放在集合论之前。这两部分看似关联不大,实际上内容联系比较紧密,如果将二者之间的联系讲解清楚,学生就更容易理解和掌握。讲到真值表时,可知有n(n ≥ 1) 个命题变项的公式共有 2n 个不同的赋值。在计算机导论中已经学过,每一个命题变项的取值非 0 即 1,共有 2 种情况,因此 n 个命题变项根据高中排列组合知识可以得到共有 2n 种情况。

  在后面集合论中,集合 A 有 n 个元素,集合 A 的幂集有 2n 个元素,因为幂集是 A 的所有子集构成的集合,而在 A 的子集里面,A 中的每个元素可以出现或不出现,即每个元素都有 2 种可能,因此,共有 2n 个。也可以按真值表的形式求解,n 个元素赋值从 00…0 开始,然后按二进制加法依次写出每个赋值,直到 11…1 为止。n 个 0 对应于 A 的子集 ,也即 A 中的 n 个元素一个也不出现;n 项中哪一位有 1,则 A 中对应位的元素在 A 的子集中出现;当 n 位全为 1 的时候,就是对应 A 的子集为 A 本身。另一方面,命题公式中的命题变项个数可以构成一个集合,该集合的幂集元素个数也正好为 2n.在讲到函数时,函数的类型分为 3 种:单射函数、满射函数和双射函数。由此部分知识可以推出,n 个命题变项的赋值与 n 个元素集合的幂集之间存在一个双射函数。这样就可以把前后知识联系起来,达到融会贯通的目的。

  2.3 强调习题和作业

  离散数学本质上是一门数学课,数学知识需要通过练习各样习题来巩固和检验。学生在解题的过程中,应用所学知识或是将之前讲的知识联系起来解题,这样不仅复习了知识,也综合应用了前面所学。

  教师要认真批改作业,布置的作业不能太多,要有针对性和代表性。比如在集合论讲到二元关系的时候,在等价关系一节,等价关系的性质是自反的、对称的和传递的,证明一个关系是等价关系,要证自反性 xRx,对称性若 xRy 则yRx,传递性若 xRy 且 yRz,则 xRz,这就用到了命题逻辑的知识。同时要指出,这里的 x、y 和z 都是抽象的元素符号,既可指简单的数字,也可指给定的单一字母,还可以是集合、有序对等形式。再比如在图论中,树的定义是[2]308连通无回路的无向图。根据命题逻辑知识可知,这是一个命题,并且是一个复合命题,由 3 个简单命题复合而成,即 p(表示连通图)、q(表示无回路的图)和 r(表示无向图),则树定义可以符号化为 p ∧ q ∧ r.由合取的定义可知,当且仅当 p、q 和 r 的真值为 1,上面的复合公式真值才为 1.通过讲解这样的习题和作业,让学生深刻体会离散数学的抽象含义。

  2.4 增加期中考试

  由于课时的限制,一般高校离散数学课程都没有期中考试和实践内容,最终成绩由平时成绩(占 30%)和期末成绩(占 70%)构成,学生最终关心的是期末考试,以为只要到最后好好看书就可以通过,一般快到期末考试时才开始重视。对于理工科课程来说,这个时候复习比较晚,教师应尽早告诉学生功夫要下在平时,尤其第一节课须告知学生离散数学的学习方法和课时安排。

  增加期中考试有两方面作用:一是检验学生对所讲知识的掌握程度,以便及时进行查漏补缺;二是对学生起到导向作用,通过一次实战考试,让学生了解知识的重点和难点所在,确立以后学习的目标。期中考试结束后,教师要认真评阅试卷,之后将试卷分发给学生,让他们清楚自己知识的掌握情况,并抽出一定学时对试卷中出现的问题进行讲评,给学生一个及时总结的机会。

  3 结 语

  离散数学这门理论性和实践性强的课程要达到好的教学效果,主要依靠以下因素:①老师的理论知识,“老师要给学生一碗水,老师自己就必须拥有一桶水”;②老师的教学方法,不论老师的理论功底多么深,如果教学方法不当,教学效果也不会很理想;③学生的学习热情和积极性,如果学生根本没有学习积极性,就不可能把这门课学好。经过近 2 年的教学实践,本文的教学方法提高了学生学习离散数学的积极性,增强了其自学能力,很多学生反映对其后续专业课程学习帮助很大。本课程的进一步建设还需要引入实践课,同时不断补充和完善教学内容,编写分别适合计算机科学与技术、软件工程和网络工程专业的教学内容。

  参考文献:

  [1] 刘铎。 离散数学结构课程研究性教学改革初探[J]. 计算机教育, 2012(24): 41-44.

  [2] 屈婉玲, 耿素云, 张立昂。 离散数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007: 84, 308.

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