网络病毒传播的动力学模型研究

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摘要

  利用离散时间传染模型去研究网络病毒传播特性,比应用连续时间模型更为简单和准确。近年来,许多研究人员利用离散时间传染病模型研究网络病毒的传播特性并取得丰富的研究成果[1-3]。本文基于文献[4]建立了一类病毒传播的动力学模型,应用相关定理、方法分析了模型的稳定性问题。

  1、模型的建立

  假设在网络(例如:计算机网络、手机网络、微信网络等)中,某一病毒按照以下模型进行传播,模型中 S(k) 、I(k) 、A(k) 为第 k 时刻易感主体、被感染主体、患病主体的数量。 k=0,1,2,...... 为离散时间节点。

  其中,b>0 为网络中从时刻 k 到时刻 k+1新增的易感主体的数量; 0<β<1为第 k 时刻易感主体被感染主体传染的有效接触率; 0<d<1为第 k 时刻所有主体因设备陈旧等非传染病因素不再使用的概率; 0<u<1为 k 时刻被感染主体进行杀毒操作后又进入易感主体类的概率; 0<υ<1为第 k 时刻患病主体经过杀毒、修理等操作处理后,进入易感主体类的概率; 0<m<1为第 k 时刻被感染主体成为患病主体的概率。而且满足条件:

  设系统(1)在时刻 k=0 满足 S(k) 、I(k) 、A(k) 都为非负值,且任一时刻 k 都有:

  显然,系统(1)有无病平衡点 (S0,I0,A0) ,其中,S0=b/d ,I0=A0=0 。计算得系统(1)的有病平衡点(Se,Ie,Ae) ,其中:

  2、无病平衡点稳定性的证明

  定理1 若 ,则模型(1)的无病平衡点不稳定。

  证明:系统(1)在无病平衡点 (S0,I0,A0) 的一次线性近似系统为:

  系统(2)的雅可比矩阵 D 的三个特征值分别为:

  ,又因为 d+u+m<1,所以,λ2>0 。

  由李亚普诺夫第一方法[5],当所有的特征值都包含在单位圆内时,无病平衡点渐近稳定,所以只需:

  当特征值不全包含在单位圆内时,系统平衡点不稳定,即:

  3、有病平衡点的稳定性证明

  定理2 当时,以下条件满足:

  或者当时,以下条件满足:

  则模型(1)的有病平衡点渐近稳定。

  证明:作变换, 则系统(1)在有病平衡点的一次线性近似系统为:

  其雅可比矩阵:

  其中:

  显然,公式1,由圆盘定理,得:

圆盘定理

  区分当 a11>0 或 a11<0 两种情形,分别讨论上面(4)~(9)式,使矩阵 D1的特征值全在单位圆内。定理2则得证。

  4、结论

  从以上的证明可以得出,当 R0<1时,染病类主体以及患病类主体从网络中消失,病毒不会在网络中流行;当满足有病平衡点的渐近稳定条件时,疾病会在网络中流行。但由于笔者水平有限,文章为对病毒进行数值仿真,在以后的研究中,会尽力给出仿真。

  总之,格林函数是由单位点源引起的函数,根据线性方程的叠加性,只要求出点源引起的解,对任意源问题,在点源解的基础上作积分就可迎刃而解。

  参考文献

  [1]四川大学数学学院高等数学教研室. 高等数学第四册 [M]. 3版. 北京:高等教育出版, 2010.
  [2]刘凤勤. 对格林函数法的边值问题的讨论 [J]. 潍坊学院学报, 2002, 2(2): 24 - 27.
  [3]梁勇, 吴自库. 二维拉普拉斯方程的格林函数法教学研究 [J]. 渭南师范学院学报, 2007, 22(5): 20 - 22.
  [4]胡先权. 格林函数法解静电场第二类边值问题的方法 [J]. 重庆师范学院学报, l990, 7(3): 36 - 43.
  [5]杨秀敏. 也谈拉普拉斯方程狄里克雷问题的格林函数 [J]. 宝鸡师范学院学报, 1991(2): 105 - 108.
  [6]陆 静. 用格林函数法求解二阶微分方程边值问题 [J]. 太原师范学院学报, 2011, 10(4): 32 - 36.

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