闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法

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  一、引言
  
  函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中,连续是函数的一种属性。而在直观上来说,连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候,输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性,以及中值定理、积分等问题,都是与函数的连续性有着一定联系的,而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中,有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。

  在极限绪论中,我们知道闭区间上连续函数具有 5 个性质,即:有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理,零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明,在很多数学教材中,所采用的方法大致相同,一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道,分析数学上所列举的实数完备性的 7 个基本定理是相互等价的,因而从原则上讲,任何一个都可以证明该定理,只不过是有繁简之分,笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来,上述文献中已经用其他 6 个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理,下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。

  二、一种新的证明方法
  
  (一)预备知识【1】

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  (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。【2】
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  三、有界性定理在数学建模中的应用
  
  本文以一道数学建模的问题为例,介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。

  在 2013 年“深圳杯”数学建模夏令营 D 题中,根据题意所述:农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展,基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害,保障农业生产的重要措施之一,是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品,基于投保人、保险公司和政府三方面的利益,按照公平合理的定价原则设计,由保险公司经营的保险产品,三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的 P 省的具体情况,可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态,则以时间 t 为自变量,根据题中所给数据,以日最高最低气温为例,很明显它与时间 t 是呈周期性变化的,以一年为一个周期,故只考虑在某一年内的变化规律,即 .

  将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量 t 是连续状态的,故f(t)在定义域[0,365] 内是一个连续函数。保险的定价与费率的拟定跟被保农作物受气候灾害的情况有关,而受气候灾害的情况则由f(t)所决定,即f(t)也是 的一个连续函数,用 spss 软件将农作物受灾情况进行聚类分析,将气温划分为 4 个等级,即为四个在值域上的闭区间【3】
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    根据闭区间连续函数的有界性定理可知【5】,
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    都有|t|≤ M ,则找到了一个f(t)为 落在闭区间【4】
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    的最大时间长度,将被保险农作物的生长周期与此时间长度结合进行保险定价与费率的拟定。

  四、结论
  
  上述用聚点原则证明了闭区间上连续函数的有界性定理,从侧面反映了实数完备性的 7 个基本定理的相互等价性,并且根据《数学分析》书及文献中所给出的证明,总结出如下规律:

  (一)闭区间上连续函数的有界性定理的证明一般都是采用反证法。

  (二)本证明方法结合 Heine 定理和聚点原则,更加精炼的采用反证法证明了有界性定理,并且将函数转换成数列极限问题来解决。

  (三)利用聚点原则证明有界性定理好处在于不用对一个闭区间不断的进行等分(构造一个闭区间套),只需找到一个收敛的子列即可证明。

  (四)在实际问题中,往往的数据都是一个离散的时间序列,根据这样离散的数据集拟合出来的一个近似连续的函数,从而根据闭区间上连续函数的有界性定理找到一个最大的定义区间和一个值域范围。

  参考文献:

  [1]陈传璋。数学分析[M].上海:复旦大学出版社,1983.

  [2]胡亚红。用实数完备性证明闭区间上连续函数的有界性[J].丽水学院学报,2010,32(5):8-10.

  

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