当代国外有关新公理哲学的讨论及其最新进展

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论文摘要

  集合论是否需要新公理的问题是当前数学哲学研究的热点问题之一。该问题源于 20 世纪 60 年代集合论发展产生的独立性结果。科恩发表于 1963 年和 1964 年的论文证明了连续统假设 [简称 CH] 在策墨罗 - 弗兰克尔的标准集合论公理系统 [简称 ZFC] 中不可证。这个结果连同哥德尔于1938 年得出的结论,表明 CH 独立于 ZFC。不仅如此,由哥德尔和科恩的技术产生的其他独立性命题,如所有投影集是否勒贝格可测、苏斯林假设、怀特海问题等等,根据 ZFC 也都是不可判定的。引进新公理的目的就是为了解决它们。但由此产生如下问题: 1. 为什么被提议作为新公理的陈述确实是公理而不只是假设? 2. 公理意指什么? 对这两个问题的回答在20 世纪40 年代末开始展开,50 年代有人隐约地提出了连续统假设无意义的观点,60 年代至 80 年代,人们主要在寻求新公理以及给出它们的辩护上做努力。但引进的诸多新公理一直未能解决连续统假设问题,90 年代后,有人对需要新公理解决独立性问题的观点提出了质疑。本文将着力于呈现当代国外有关新公理哲学讨论的发展及其重要观点,在此基础上表明,新公理的辩护和反驳都不应当忽略数学家的主观意向性与公理的客观有效性之间的密切联系。

  一、新公理纲领的提出

  新公理纲领可追溯到哥德尔 1931 年关于算术不完全性定理的论文。在该文的脚注 48a中,他指出: “……不完全性的真正原因在于更高类型的形式可以继续进入超穷……每当添加合适的更高类型的公理时,构造的不可判定命题就可以判定。”① 明确提出新公理纲领则是在其 1947 年发表的经典文章 《什么是康托尔的连续统问题》中。1963 年哥德尔根据集合论的后续发展又做了第二版补遗,最终形成 1964 年的修订版。

  事实上,在 1947 年的版本中哥德尔就预感到连续统假设独立于 ZFC,因此希望通过引进新公理解决它,并为引进它们提供了相应的辩护。首先,他基于集合的迭代概念给出了新公理的内在辩护。这个理由说明新公理展现了由迭代概念 [通过运算 “……的集合”的迭代运用使得大全集分层成为从  出发的阶为 Va( a 为序数) 的累积分层,即 V0= 0,Va + 1=Va∪ ( Va) ,且 Vλ= { Va: a < λ} 的并,λ 为极限序数] 解释的集合概念的内容,表达的思想就是,即使耗尽了幂集和替换运算,集合的迭代仍然继续下去。他举例说明,断定不可达基数和马罗基数存在的公理就是基于这样的内在理由,它们是原有公理系统自然的延续。

  但是,当哥德尔看到上述的无穷公理不能判定连续统问题时,他期望因外在理由引进新公理: “在它们可证实的推论中如此丰富……以致不考虑它们的内在必然性,它们仍将不得不在任何完整的物理理论相同的意义上被假定。”

  ②这种外在理由强调的是 “推论上的多成果性”。关于证成新公理的外在理由,哥德尔还指出,当前不适宜于给专门的集合论公理做辩护,因为我们关于它们在其他领域中的推论知之甚少。但是,人们并非都同意哥德尔这样的提议。如 1952 年埃雷拉 ( Errera) 认为连续统问题无法由现有公理系统判定就表明它没有意义 ( 见哥德尔1963 年的第二版补遗) ,这直指哥德尔寻找新公理的计划。对此,哥德尔从两个方面说明寻找新公理的必要性,从数学观点看,新公理被断定或否定存在显着的非对称性,断定它可以得到 “富有成果的”扩充,否定它在有限范围之外将没有成果。从认识论观点看,不可判定性命题只因原有公理系统中原始词项的含义处于不确定时才会失去意义。

  但我们有一个可设想的集合论对象 ( 在他看来,这个客观实在是经由 “……的集合”的迭代方式设想的集合累积分层 V) ,而且我们对它们具有一种 “像感知的”数学直觉,这使得现有公理迫使我们认为它们为真,而且也意味着不可判定的命题将来可以被判定。不仅如此,哥德尔还指出,我们的数学直觉感知到的只是 “集合论对象的观念”,但这个观念的客观性对判定连续统的真假不具有决定性。真正重要的是, “存在一种心理学上足够清楚的,可以产生集合论公理和它们扩充的一个开系列的直觉事实,就足以使康托尔连续统假设那样的命题的真假问题具有意义。”

  ③哥德尔上述的辩护无疑为寻找新公理提供了有力的支持,但由于他设想了一个柏拉图主义的集宇宙,这激起了关于集合论哲学基础的讨论和争辩。真的有那样一个抽象的集合世界吗? 如果有,生活在物理世界中的我们如何能认识那样的世界? 这种困惑显然与预设客观存在的集宇宙有关,但我们也应该注意到,尽管哥德尔提到了“可设想的集合论对象”,但事实上他更侧重于在数学直觉的认识论上,而不是像人们通常认为的基于柏拉图主义的实在论立场,支持寻找新公理。
 
  二、新公理纲领的实在论辩护

  20 世纪 60 年代至 80 年代期间,一方面,人们寻找新公理解决 CH 等独立性命题; 另一方面,人们尝试为这些备选的新公理提供各种辩护。这段时间探讨新公理的特点是: 人们普遍认为连续统假设是一个真问题,而且从集合的实在论观点猜测 CH 具有确定的真值。因此寻找的新公理除了提供各种辩护之外,还基于一种实在论。

  1988 年,P. 麦蒂 ( Penelope Maddy) 在 《符号逻辑杂志》 上发表了两篇综述性论文《相信公理 I》和 《相信公理 II》。这两篇文章的主要贡献是概括和总结了支持集合论公理,尤其是那些候选新公理的各种证据。

  在 《相信公理 I》中阐述 ZFC 公理的合理依据时,麦蒂引用了 G. H. 摩尔 ( GregoryH. Moore) 、M. 哈雷特 ( Michael Hallett) 以及 A. A. 弗兰克尔 ( Abraham A. Fraenkel) 和 A. 利维( Azriel Levy) 、王浩、F. R. 德瑞克 ( Frank R. Drake) 等人的着作和论文。相比于为 ZFC 公理提供辩护来说,她更强调,它们与未经证实的新公理相比不具有优先的认识论或形而上学地位。

  麦蒂还考察了人们对 CH 的态度。她除了参考上述学者的着述外,还引述了数学家、逻辑学家和集合论专家如科恩、哥德尔、D. 司克脱 ( Dana Scott) 、D. A. 马丁 ( DonaldA. Martin) 、R. M. 索罗维 ( Robert M. Solovay) 、C. 弗赖林 ( Chris Freiling) 等人的论文。从她的综述看到,尽管独立性命题使得一些人,如科恩一开始采取形式主义的态度,但最终人们对 CH 具有确定的真值取得一致的意见,即集宇宙的存在支持 CH 是个真问题,所以引进新公理是必要的。另外,尽管 CH 的真值尚未判定,但多数人基于各种理由,倾向于猜测它为假。随着寻找新公理解决连续统问题工作的展开,最普遍被接受的新公理的内在理由是反射原则 ( reflection principle) 。它的基本思想是,集宇宙如此复杂以致不可能被完全描述,因此关于整个集宇宙的任何真,必定已经在该宇宙的某初始段为真。这样,哥德尔用迭代概念辩护的不可达基数和马罗基数、甚至比它们更强的弱紧致基数、不可描述基数等都可以在反射原则下得到辩护,而且ZFC 公理也可以重塑为反射原则。最终的结果显示,这些无穷公理都不能判定连续统问题的假,因为它们与证明连续统假设与 ZFC 公理相容的可构造公理V =L 也相容。

  至于新公理的外在证成方面,人们一般都接受哥德尔声称的推论上的富有成果性。麦蒂在《相信公理 II》中详细阐述那些不能用内在理由辩护的大基数公理的推论,尤其是二阶数论上的推论。她的论述显示,现代集合论研究中断定可测基数、武丁基数和超紧致基数等存在的更大的大基数公理以及涉及可定义实数的决定性公理都具有各自丰富的推论,因此得到了外在的辩护。

  这些技术工作主要归功于索罗维、马丁、M. 福尔曼 ( Matthew Foreman) 、M. 穆加多尔( Menachem Magidor) 、S. 谢拉 ( Saharon Shelah) 、W. H. 武丁 ( William Hugh Woodin) 等人。值得谈及的是,60 年代后期,索罗维猜想大基数公理蕴涵可定义实数的决定性公理; 80 年代中期,武丁作为索罗维的学生,最终证明了可定义实数的决定性公理等价于大基数公理的内模型。这个结果产生的影响是,使得两类在概念上处于完全不同领域的公理被统一起来: 决定性公理继承了大基数公理的内在和外在证据,大基数公理转而获得支持决定性公理的外在理由。但与人们期望的相反,这些大基数公理依然无法解决连续统假设问题,尽管它们与 V = L 不相容。

  麦蒂撰写这两篇综述性的论文,旨在给数学知识论者和数学哲学家提出哲学任务。她本人认为集合论在可应用性上的成功以及那些外在证据可以巩固公理的辩护实践。但她不倾向在某特定的哲学立场上给出新公理的辩护和反驳,而是认为对任何哲学立场的人来说,连续统假设都是一个真问题。因此,在她看来,寻找新公理解决连续统问题不只是柏拉图主义的事业,而且是对任何哲学立场都重要的事业,关键在于深入考察这些哲学立场之间的细小差异。

  三、新公理纲领分歧的当代视野

  20 世纪 90 年代后,与麦蒂观点的初衷事与愿违的是,一些人对连续统具有确定的真值提出了质疑,他们认为独立性的结果破坏了集合论作为客观的事业; 而包括麦蒂在内的另一些人则坚持独立性的结果仅仅表明,缺少用于证明这些数学陈述的集合论公理。这种分歧往往伴随着形而上学立场的分歧,如 1999 年 S. 费弗曼 ( Solomon Feferman) 发表于 《美国数学月刊》上的论文 《数学需要新公理吗?》以及 2000 年 《符号逻辑简报》 ( The Bulletin ofSymbolic Logic) 上收录的费弗曼、麦蒂、J. R. 斯蒂尔 ( John Robert Steel) 等人在 2000 年符号逻辑年会上的会议论文均体现出这种分歧。争论的焦点主要表现为如下几个方面:

  ( 一) 公理意指什么

  费弗曼在两篇文章的开头均引用了 《牛津英语字典》的定义,说明他的 “公理”含义即自明性。然后,他把公理的自明性归因于数学概念的清晰直观。依照这个标准,他认为皮亚诺算术公理符合这个自明性的标准,因为自然数概念是清晰直观的。

  但斯蒂尔认为公理的自明性标准太主观了,不仅导致无法解决 “何谓自明的”争论,而且产生的公理系统相当有限。他主张,迫使我们接受公理为真的更可能是作为整体的公理系统,而且这个过程是渐进的。因此,尽管我们对新公理的信心不可能达到对皮亚诺公理的信心,但引进的新公理可以合理地得到辩护。

  麦蒂则分析了费弗曼青睐自明性公理,对外在辩护的新公理无动于衷的原因。她认为,主要原因是,费弗曼要求被辩护的公理不仅表明理论是有效的,还必须符合某种数学概念。

  这种数学概念是 “某理想世界中的概念,……或多或少直接表达想象的事物”④,因此,在麦蒂看来,费弗曼为公理的辩护实际上最终不是基于自明性,而是某种客观实在。麦蒂自己则更愿意支持外在辩护的新公理,因为它们有助于当代集合论满足各种目标。但她不认为集合论应当揭示数学实体是什么,或在是否需要新公理的问题上提供认识论基础,也不认为集合论显示如何通过显然的步骤,从绝对的某些真理推导出各种数学真理。

  ( 二) 连续统假设是否是一个真正的问题

  费弗曼声称连续统假设本质上是模糊的,没有新公理以令人信服的明确方式解决它。原因在于,连续统 ( 或自然数的幂集) 是经由自然数的 “任意子集”汇集成一个总体得到的概念; 解决连续统问题还需要三阶数论上的语句,即需要涉及连续统 ( 实数) 的任意子集以及它们之间的可能映射。但 “自然数的任意子集”的概念和 “实数的任意子集”的概念都是含糊的,因为我们缺少对这些概念的集合直观,“没法用合理的方式表明在不违反这个概念应该是什么的情况下形成这个概念。”

  ⑤因此谈论 CH 的真假没有意义。另外,CH 没有成为千禧年奖金列出的杰出数学问题之一,所以不是一个值得探讨的问题。但是,斯蒂尔认为三阶数论仅仅是语言上的含糊性,这并不代表它本质上就是含糊的。事实上,可以通过提高语言的意义来发现新的真理。最终,解决连续统问题可能就是解决语言上的含糊性。并且一旦澄清了 CH在语言中的含糊性,CH 在思想中的真就能显现出来。另外,连续统假设没有成为七个杰出问题之一,仅仅说明人们对数学基础问题不感兴趣。真正的关键是,连续统假设涉及 “与数学证据有关的基本概念问题”,值得逻辑学家去关注。麦蒂则摆脱了这样的问题。原因在于她的自然主义哲学不需要关心 CH 是否是本质上含糊的,而且她不认为 CH 的答案是预先确定的。麦蒂的自然主义哲学只需要评估寻找新公理的前景,它符合集合论的目标,也可以解决 CH。
  
  ( 三) 新公理的辩护依赖于柏拉图主义的立场是否恰当

  费弗曼对于用柏拉图主义为当代集合论寻找新公理提供基本辩护表现出极端的不满。根据他的理解,柏拉图主义为当代集合论实践作辩护主要体现在: CH 具有确定的真值诉诸于某个柏拉图的集合世界; 集合的累积分层使用了 “给定集合的任意子集”的柏拉图主义概念。但是,在费弗曼看来,明显的事实是,不仅 CH 是含糊的,而且整个累积分层的概念都是内在含糊的。因此不仅谈论三阶数论上 CH 的真假没有意义,而且谈论二阶数论上陈述的真或假的事实也没有意义。这种观点,不仅使得费弗曼只在工具主义的立场承认 ZFC 从累积分层中产生,而且否认寻找新公理解决这些概念上含糊的独立性陈述。

  但麦蒂指出,费弗曼错误地相信只有柏拉图主义能够为集合论的实践提供辩护,从而误以为寻找集合论新公理的实践是不正当的。她声称,哲学不应该证成或批评集合论实践,它们只是 “尝试理解该实践”⑥
  
  ( 四) 普通数学是否需要新公理

  费弗曼认为,没有证据表明需要新公理解决开放的算术和有穷组合问题。一方面,普通数学不需要新公理。就纯数学来说,几乎所有经典数学的陈述都可以在 ZFC 中形式化。就应用数学来说,它们都可以在可还原到 PA 的系统中形式化或者在相对较弱的非直谓分析子系统中实现。因此,他声称,由哥德尔第一不完全性定理导致的独立性命题,应该仅仅是普通数学推理的结果。另一方面,他认为,说需要新公理 [即大基数公理 ( 简称 LCA) ] 解决不可判定的命题,其实是在回避问题。因为我们寻找的不是新公理,而是它与 ZFC 的一致性。但在接受 ZFC + LCA 和接受 Con ( ZFC + LCA) ( “Con”表示 “一致或相容”) 之间存在差别。在不承认大基数公理具有确定真值的情况下,如果有理由接受 Con ( ZFC + LCA) 但不接受 ZFC + LCA,那么我们不应当视 LCA 为公理。在承认大基数公理有真值的情况下,可以忽略 Con ( ZFC + LCA) 和 ZFC + LCA 之间的差别,但是还需要说明为什么承认 LCA 而不是它的否定为真。这两种情况都说明,我们不应该如同接受皮亚诺算术公理一样接受它们。

  麦蒂针对费弗曼提出的第一个理由给出了反驳。她认为 ZFC 甚至更弱的系统对于当代科学可能够用,但或许实践科学并非根据这些较弱系统就能得到,而且纯数学的本质就在于自由。因此本着探索的精神,使用非直谓方法和更高的无穷公理是必要的,从而期望获得更多数学上有趣的结构。斯蒂尔针对费弗曼的第二个理由提出质疑。他认为,费弗曼仅仅说寻找新公理对多数数学家来说不重要,但没有说明 ZFC + LCA 和 Con ( ZFC + LCA) 之间不同的实际行为内容可能是什么,也没有回答解决第二类独立性命题的大基数公理是否应当算作好的证据,或者是否应该寻找其他方向的解决方案。

  从上述的争辩可以看出,费弗曼、麦蒂和斯蒂尔的分歧最终落在经由外在辩护的新公理是否合法的问题上。这种分歧的根源在于,费弗曼基于自然数的实在论立场支持一阶数论公理,否认寻找二阶以上的数论公理; 麦蒂认为寻找新公理不涉及哲学立场的考虑,只需要根植于集合论的实践目标。斯蒂尔和麦蒂的观点大体一致,只是他在阐述怎样算是连续统问题的解决时,还强调哲学在新公理纲领中可以扮演更积极的角色。

  四、新公理讨论的最新进展

  2000 年后,赞同寻找新公理的诸多学者希望为新公理纲领提供更好的辩护,而费弗曼等则依然坚持己见,认为连续统假设是含糊的问题。

  ( 一) 柏拉图主义立场的辩护

  美国数学家和集合论专家武丁自 80 年代开始,努力寻求连续统问题的解决。他在 2004年的论文 《罗素之后的集合论: 回到伊甸园》中攻击反柏拉图主义者关于集合论意义的不可知论,认为连续统假设是一个有意义的问题。技术上,他认为连续统问题应该以否定的方式解决,它的假不是基于公理的具体选择,而是根据公理被要求的完全性属性。武丁的这种判定依赖于他的 Ω 猜想,Ω 猜想断言,如果存在一个武丁基数的真类,那么对每个语句 φ,如果 θ φ,那么 θ φ。哲学上,武丁支持一种 “条件句的柏拉图主义立场”⑦,即,如果投影决定性公理是真的,那么解决连续统问题的公理也将是真的。因此他的论文首先阐述了二阶数论上投影决定性公理的正确性,然后说明我们不应当在这里停下来,而是要寻求三阶数论上连续统假设的真值问题。

  ( 二) 解释新公理的现象学路径

  K. 豪瑟 ( Kai Hauser) 作为一个集合论专家和数学哲学家,从 90 年代起发表的多篇论文都围绕着新公理展开。他在 2004 年 《罗素悖论一百年》中发表的论文 《何谓和该何谓新公理》中,尝试用胡塞尔的现象学解释现代集合论发展中的新公理。

  豪瑟首先概述了证成新公理的内在和外在证据,并表明基于外在证据的新公理,只有用内在证据说明时才可以被视为公理。这与豪瑟要求公理满足某种内在似真性有关,即公理蕴涵在它意欲表达的集合概念之中。因此,反对和拒绝新公理都应当解释集合概念的含义是什么。他认为,集合概念的含义实际上存在于心灵坚持数学客观实在的关系之中,这直接涉及主体的主观思考如何提供理由和依据,来选择具有客观有效性的公理。对此,豪瑟认为胡塞尔的现象学有助于这一努力。

  胡塞尔的现象学涉及两个认识论的基本问题: 第一,如何理解对象存在于 “自身之中”且在认识中被 “给予”; 第二,如何使思考主体声称获得对象的知识。胡塞尔在探究这两个问题时有一个重要的洞察,即,对象的实际存在对给定行为的指向性不是决定性的。[指向性,即,我们在执行行为时,我们的意识有一个特定的结构,胡塞尔称其为意向性( noema) ,它是所有意识行为 “意义”概念的概括。] 对象能够存在于 “自身之中”,意指对象在不断变化的意识流中保持不变和同一,而且正是它在各种出现中保持同一,我们才能对它产生知觉。这里不考虑所指对象是否 “实际”存在,而且我们对它的知觉是不完全的,但包含对象其他可能方向的预示,诸如当我看到一栋房子的前面时,可以想象房子背后的样子。不过,此时只能说明,意识行为如何获得对象的固有属性。要获得对象的知识必须包含两个行为的组合。语言性的符号行为 ( 它仅指向一个对象) 和思想性的直觉行为 [等同于知觉行为 ( 在该行为中意识直面一个对象) ]。当直觉行为中被直观到的对象与符号行为中 “仅被意指” 的对象吻合时,关于对象的知识产生。胡塞尔称这个经验为 “实现[fulfillment]”。它是基于符号行为和直观行为之上的一种行为,它的意向相关项是符号行为的意向对象和直觉行为的意向对象之间的同一性。 “根据这个理论,认识是一个行为复合体,是建立在低阶的符号行为和直觉行为之上的高阶识别行为。”⑧利用 “实现”可以获得认识行为的主观性与内容客观性的一致,不过这个过程是渐进的。主要因为 “对象”受限于知觉者的主观范围,但它的片面呈现仍使得它可能在其他方向上被知觉。因此 “‘客观存在’的含义 ( meaning) 就是对应于对对象的可能知觉变化,不断地给 ‘不饱和的’意向相关项组成的开放系统进行 ‘填充’”。

  ⑨通过胡塞尔的知觉理论,豪瑟试图说明被支持的公理以及它们的证据,取决于集合概念的含义在意识中构成并依赖于意识,因此需要解释哪些行为涉及到集合概念的构造。

  这包含: 由 “复多”形成 “一”的汇集行为; 演绎出 ZF 公理的迭代行为; 将迭代概念和集合的累积分层重塑为大全集 V 的含义分析的反射行为,使得对 V 成立的已经在它的前段成立等等。最终,这些行为形成一个复杂的行为网络,它们的意向相关项分别就是我们可以视为对象 ( 或客观存在) 的东西: 集合、迭代概念形成的累积分层、不可达基数、马罗基数等等。这实际上印证了胡塞尔的知觉行为的主观性与内容客观性的一致,即,对应于不断的知觉变化,不断填补不饱和的意向相关项。

  尽管如此,上述行为仍无法断定可测基数的存在。但胡塞尔的知觉理论毕竟说明了所有的知觉都是不完全的。因此给 V 的所有可能行为增加新成份,诸如哥德尔 L 上 V 的超越,就可以填补可测基数的出现。

  投影决定性公理 [简称 PD] 作为二阶数论上的公理,缺少与集合迭代概念的直觉联系。它通常因给描述集合论问题提供一种解决方案而被视为合理。不过,当大基数公理等价于 PD 时,包含 PD 的公理系统可以在更强的意义上被证明是 “正确的”。

  最后,豪瑟讨论了连续统问题。这涉及集合论研究者在面对连续统问题的任何解决方案时,必定追问 “何谓一种解决”的共识。豪瑟认为武丁对连续统假设技术上的解决还不足回答这个问题,不过他指出,尽管武丁对 CH 采取柏拉图主义的哲学立场,但他的方法实际上涉及 V 的所有可能行为的再解释,而概念的现象学来源是这个 “再解释”的关键。总之,按照豪瑟的观点,我们必须考察数学家是如何意向性地与公理背后的那些事实关联的,尤其关于集合概念的构造,这是数学家视某些公理为合理和自然的根据。另外,解释新公理的现象学路径并不与柏拉图主义对集合论的解释相冲突,因为它不涉及形而上学问题。

  ( 三) 自然主义哲学的路径

  从早期论文 “相信公理”开始,麦蒂的论文和着作都是围绕数学哲学和集合论展开的。她的立场多年来几经发展和变化,最终体现在她发表于 2011 年的论着 《为公理辩护: 论集合论的哲学基础》中。在该着作中麦蒂提出了一种 “Thin 实在论”,尝试用它来解释集合论实践的本质。Thin 实在论是一种后形而上学的客观主义立场。它并不鉴于形而上学的哲学标准 ( 如柏拉图主义) 来评判集合论,而是认为集合论就是数学家公布的基本正确的理论。

  这意味着集合就是集合论描述的那种东西; 关于集合的问题,集合论是唯一有关的权威。基于这样的客观主义立场,在认识论上,我们关于集合的知识不可能出错,也不可能存在与我有关的集合完全不同于我对它们的了解,因为集合被理解只需要诉诸于一系列数学思考从公理获得。Thin 实在论的客观性保证,归因于潜藏在集合论公理背后 “数学深度”的客观性,其中集合是这些数学深度的标记。数学深度是公理的 “外在”证成的概括,也是数学家在引进这些公理时觉察到的它们的各种特殊优点。数学深度的客观性体现在: 即使数学家再多的偏爱或盲目关注某些公理,如果这些公理本来就不具有丰富的推论,那么数学家的关注不会使它的推论变得丰富。另外,公理的内在证成最终将归入外在证成之中,原因在于 “内在证成”仅当与外在收益关联时才体现价值。不仅如此,数学深度随着公理系统的统一和扩展( 借助于新公理) 也会增加。例如,有了投影决定性公理,我们就可以将 ZFC 中证明的最初两个层级投影集合的决定性扩展到整个投影分层。不过麦蒂坦然承认,她还没有给出数学深度的满意解释。基于这样的后形而上学立场,Thin 实在论者对 CH 的态度比经典逻辑排中律意味的要多,但比柏拉图实在论者 ( 把 CH 的合法性诉诸于某种客观实在) 意味的要少。也就是说,如果目前经典逻辑只能说明 CH 或非 CH,那么随着新公理的增加,也许能够在它的真或假中选择其一,条件是我们需要领会解决 CH 的某公理探究的数学深度,否则可能永远都不知道 CH 是否为真或假,尽管它具有确定的真值。

  总而言之,在 Thin 实在论者看来,寻找新公理以及证成新公理的理由不是描述某个独立于我们的客观实在世界,而是探索数学深度的事实。同时,新公理的外在证成比内在证成更重要,因为所有被认为合理的公理都 “建立在承诺实现更多数学目标,发现更多丰富的概念和理论,以及产生更深刻的数学基础之上。最终,我们旨在以组织和扩充数学思考的有效方式,以产生多产的新假设的有用试探法等等来寻求一致的理论”。
  
  ( 四) 公理的认知证据序列

  P. 克勒纳 ( Peter Koellner) 在他 2011 年的论文 《大基数和决定性》 中把内在证成的新公理与外在证成的新公理放入公理的证据序列中来说明公理的本质。

  克勒纳首先阐述了数学公理系统的可解释性分层,他认为从简单的算术公理系统出发,到二阶算术层级,集合论的子系统,大基数公理的分层等等可以形成一个良基的可解释性分层。然后,他说明公理的本质不在于主观的自明概念,而在于 “……比……更显然”的概念。利用这个概念,每个可解释性层级中的公理可以组成一个关于认知的证据序列。由此,基于内在证成和外在证成的新公理都可以归入这样的证据序列中。这里,克勒纳强调,处于证据序列极小点的公理不应当被视为自明的,因为在更高可解释性分层的证据序列中处于极小点的公理通常并不是显然的。有关新公理的证成,他认为更为普遍的情况是,检验处于证据序列较低层级的公理之间的相互连接,希望一系列深刻的定理显示它们之间的结构关系。当这些结构关系在更为丰富的数学领域中被揭示时,就可以为这些公理提供更多地证据支持。最后,克勒纳讨论了二阶数论层级上决定性公理和大基数公理之间结构关系的具体例子以印证他提出的观点,并期望这同样适用于说明三阶数论层级上引进的新公理。

  就当前新公理问题上存在的冲突,克勒纳认为暂时还无法解决。但是他认为那些拒绝新公理的人应当说明公理界限的划定标准是什么; 而他作为新公理的支持者,认为可解释性分层中公理的复杂连接可以作为证据,支持寻找更高层级的新公理。

  ( 五) 直谓主义者的反抗

  费弗曼在2011 年的论文 《连续统假设是确定的数学问题吗?》中再次解释了他为什么相信连续统假设不是一个真正问题的理由,其基本观点与 1999 年时的看法大致相同,即任意集合的概念是内在含糊的。不过,在 2011 年的论文中,费弗曼从三个方向更细致地考察了这个问题。第一个方向是与千禧年大奖问题相关的思想实验,背景是 2000 年克雷数学研究所的科学顾问委员会,宣布了七个未解决的数学问题,而连续统假设不在其中。通过模拟科学顾问委员会和集合论专家之间的对话,费弗曼表明,如果 CH 被加到七个问题之中,那么困难将是数学真理不再普遍有效,因为它们基于更高的不寻常假定。第二个方向涉及概念结构主义的数学本质。他用十个命题总结他的概念结构主义,强调所有数学思想的主体间性的来源。他认为,数学对象是作为心智概念存在的结构,它的客观性在于主体间交流时的稳定性和连贯性。但 CH不具备这样的客观性,它的客观性来自柏拉图主义的集合世界。第三个方向涉及区分确定和不确定概念的逻辑框架。确定的概念意指如果陈述 A 是确定的,那么它或真或假。费弗曼认为在半构造集合论系统加上断定 ω 的幂集存在的逻辑框架中连续统假设是不确定的。

  五、结 语

  根据以上综述可以看出,无论是新公理的反对者还是支持者,无不希望寻求公理背后的客观实在性以阐明数学的客观性。尽管存在如下分歧: 公理是否应该遵从自明的标准、应该支持多高层级的无穷集合才合适、悬置本体论直接强调认识论、哲学立场在新公理辩护中到底该不该起作用等等,但学者们都期望通过对 “数学家的实践”、“主体间性”、“心理学上的事实”、“关于认知的证据序列”等一系列主观性的辨析来实现这一诉求,这意味着学者们普遍赞同客观与主观并不是完全脱离的,公理的客观有效性应该在考察数学家心智活动的前提下被研究。在这一背景下,笔者认为新公理哲学研究的未来趋势将依然是,具体的公理和证成的理由可以被分析、支持或批评,但是这些公理的选择以及关于它们的证据必须包含意识的意向结构,从而使得所有已形成的理论变得可以理解。

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