柔软细绳在不同状态下的力学性质

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  1、细绳水平转动状态

  首先分析细绳水平转动状态:如图(1)所示,一条质量为M且分布均匀的绳子,长度为L,一段拴在转轴上,以恒定角速度在水平面上旋转。设转动过程中绳子始终伸直,且忽略重力与空气阻力,求距转轴为r处绳中的张力。

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  绳子在水平面内转动时,由于绳上各段转动速度不同,所以绳中各处的张力也不同。现取距转轴为r处的一小段绳子dr为研究对象,其质量为dm=(M/L)dr,设左、右两边的绳子对它的拉力分别是T(r)与T(r+dr)。这一小段绳子做圆周运动,根据牛顿第二定律,有:

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  由于绳子的末端为自由端,即r=L时,T=0,所以:

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  从以上结果看出,愈靠近转轴处绳中的张力愈大。

  2、细绳竖直提起状态

  再分析细绳竖直提起状态:长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上,用手将绳索的一端以恒定速率υ0向上提起如图(2),求当绳索上端离台面为x时手的提力。这是一个质点系运动的问题,可用质心运动定理来分析。取x轴垂直向上,以台面为原点,则当绳索提起x长时,系统的质心坐标为
 

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  可见提取细绳的力F随速度υ0增大而增大,随高度增加而增大。类似情况还有:长为l、质量M均匀分布的柔绳,一端挂天花板下的钩子上,将另一端缓慢地垂直提起,并挂在在同一钩子上,试通过直接积分论文摘要可以求出该过程中对绳子所作的功。

  这是一个变力作功问题,取绳自由下垂时末端位置为坐标原点,铅直向上为Ox轴正向,如图3,当可见该过程对绳子作的功与绳长有关。

  3、细绳静止下落状态 

  下面再来讨论细绳静止下落状态:一质量为m,长为l的完全柔软均匀细绳竖直地悬挂着,其下端刚刚与地面接触如图4。放开绳子,使之从静止状态开始下落。求在下落过程中地面对绳的作用力。

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  以地面为坐标原点建立竖直向上的z轴。把绳子看做一质点系,其质心高度和速度分别为

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  由此可得质心加速度为:

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  设地板对绳子的作用力为F,对整根绳子应用质心运动定理,有:F-mg=mac;将ac的表达式代入上式,得地板对绳子的作用力为:F=m(g+ac)=3mg(1-z/l),可见作用力与绳长下落的长度有关,类似情况还有:

  一质量为m、总长为l的细绳,开始时有一半放在光滑的桌面上,而另一半下垂,如图(5)所示,试求细绳桌面边缘时重力所作的功。

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  重力所作的功,等于细绳势能增量的负值,取桌面为势能零点,因而有:

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  如:一根质量为M、长度为L的细绳、被竖直地悬挂起来,其最低端刚好与秤盘接触.今将细绳释放并让它落到秤盘上,如图(6)所示.当细绳下落的长度为x时,试求秤的读数是多少?

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  秤的读数反映了细绳对秤盘的作用力的大小,数值上也等于秤盘对细绳作用力的大小。该力由两部分组成,第一部分为已落入盘中的细绳所受的力F1,其数值等于其重力,取竖直向上为坐标轴正向:

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  第二部分为正要落入盘中的部分作用力F2,设其质量为Δm′,根据动量定理,此时忽略其重力,

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  综上各种情况:细绳可看成多质点构成质点系,通过张力作用。

  在各种状态下,机械能不守恒,但通过相关物理规律可以了解在不同状态下存在各种变化规律,反映其内在力学特性。

  参考文献:
  1.马文蔚.物理学(第四版)[M].北京:北京高等教育出版社,1999
  2.周衍柏.理论力学(第二版)[M].北京:北京高等教育出版社,1986
  3.朱照宣.理论力学[M].北京:北京大学出版社,1982
  4.李承祖,杨丽佳.基础物理学(上册)[M].北京:北京科学出版社,2004
  5.王少杰,顾牡.大学物理学第三版(上册)[M].上海:上海同济大学出版社,2006

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